Ana Maria Dragut a început să joace handbal la Școala nr. 2 din Darabani, cu profesorul Valentin Dascălu. Din clasa a VIII-a a fost înscrisă printre sportivii Liceului cu Program Sportiv din Botoșani, după ce a fost remarcată la un turneu zonal. Ca urmare a prestației bune de la LPS Botoșani, Dragut este selecționată în lotul de junioare al echipei României. Din clasa a XI-a se transferă la Clubul Sportiv „Urban” din Brașov, unde și termină liceul.

În 2008, handbalista este adusă la HCM Roman de antrenoarea de atunci a echipei, Alexandrina Soare. Tot în 2008, Ana Maria a fost convocată la echipa de tineret a României, cu care a luat parte la Campionatul European din Ungaria, din 2009.

În 2009, Dragut s-a transferat la HC Dunărea Brăila, unde a jucat până în 2014, cu excepția anului competițional 2012–2013, când clubul brăilean a împrumutat-o la CSU Neptun Constanța. Între 2014 și 2016 ea a jucat la CSM Unirea Slobozia, iar din vara anului 2016 a fost legitimată la HC Zalău.

După două sezoane petrecute la echipa zălăuană, s-a transferat la echipa maghiară Kisvárdai KC. În vara lui 2019, Dragut s-a întors în Liga Națională, semnând cu SCM Râmnicu Vâlcea.

După zece etape din sezonul 2019-20, în noiembrie 2019, s-a transferat la SCM Craiova. În vara lui 2021, ea a semnat cu SCM Gloria Buzău.

Ana Maria Dragut s-a căsătorit pe 30 iunie 2018 cu Emil Savu.